Date Log
VÀNH MÀ MỘT LỚP MÔĐUN NHÚNG ĐƯỢC VÀO MÔĐUN XẠ ẢNH
Corresponding Author(s) : Bành Đức Dũng
Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn và Giáo dục,
T. 2 S. 2 (2012): TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC
Tóm tắt
Năm 1967, Faith và Walker có định lý đặc trưng vành quasi-Frobenius nổi tiếng, đó là vành là quasi-Frobenius nếu và chỉ nếu mọi -môđun phải nội xạ là xạ ảnh. Từ đó suy ra rằng nếu mọi -môđun phải đều nhúng được vào một -môđun phải xạ ảnh, hoặc một cách tương đương nhúng vào một -môđun tự do, thì là vành quasi-Frobenius. Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là, nếu không phải mọi môđun nhúng được mà chỉ một lớp môđun nào đó thì vành sẽ như thế nào? Vành mà mọi môđun phải hữu hạn sinh (tương ứng, mọi môđun cyclic) nhúng được vào một môđun tự do được gọi là FGF phải (tương ứng CF phải). Hai câu hỏi vẫn còn mở cho đến nay đó là:
Vành FGF phải có là QF?
Vành CF phải có là artin phải?
Câu hỏi (1) và (2) này lần lượt được gọi là Giả thuyết FGF và Giả thuyết CF. Nếu giả thuyết CF được giải quyết thì giả thuyết FGF cũng được giải quyết do một vành artin phải, FGF phải là QF. Từ khi Faith đặt tên cho các lớp vành này đến nay, đã có rất nhiều công trình của rất nhiều tác giả cho những câu trả lời tiệm cận. Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu một cách tổng quan các kết quả đạt được về các lớp vành này và một số câu hỏi mở.
Từ khóa
Tải về trích dẫn
Endnote/Zotero/Mendeley (RIS)BibTeX
-
[1] F. W. Anderson and K. R. Fuller (1992), Rings and categories of modules, Second Edition, Graduate Text in Math., Vol. 13, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York.
[2] B. Bj rk (1969), Rings satisfying a minimal condition on principal ideals, J. Reine Angew. Math., 236, 112-119.
[3] Dung, B. D., Thoang, L. D., Sanh, N. V. (2008), When is a semiperfect rings pseudo-Frobenius?, Asian J. of Math., 1 (3), 353-358.
[4] C. Faith (1976), Algebra II: Ring Theory, Grundl. Math. Wiss. 191, Springer-Verlag.
[5] C. Faith (1982), Embedding modules in projectives. A report on a problem, Lecture Notes in Mathematics Vol. 951, 21-40. Springer-Verlag, Berlin-New York.
[6] C. Faith (1990), Embedding torsionless modules in projectives. A report on a problem, Lecture Notes, Inst. de Recerca Mat., Autonoma U. de Barcelona.
[7] C. Faith and D.V. Huynh (2002), When self-injective rings are QF: A report on a problem, J. Algebra Appl. 1, 75-105.
[8] C. Faith and E. A. Walker (1967), Direct-sum representations of injective modules, J. Algebra 5, 203-221.
[9] J. L. Gómez Pardo (1985), Embedding cyclic and torsionfree modules in free modules, Arch. Math. 44, 503-510.
[10] J. L. Gómez Pardo and P. A. Guil Asensio (1997), Rings with finite essential socle, Proc. Am. Math. Soc. 125, 971-977.
[11] J. L.Gómez Pardo and P. A. Guil Asensio (1997), Essential embeddings of cyclic modules in projectives, Trans. Am. Math. Soc. 349, 4343-4353.
[12] T. Y. Lam (1991), A First Course in Noncommutative Rings, Graduate Text in Math., Vol. 131, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York.
[13] L. Levy (1963), Torsion-free and divisible modules over non-integral-domains, Canadian J. Math. 15, 132-151.
[14] P. Menal (1983), On the endomorphism ring of a free module, Publ. Mat. Univ. Autónoma Barcelona 27, 141-154.
[15] W. K. Nicholson and M. F. Yousif (2003), Quasi-Frobenius rings, Cambridge Univ. Press.
[16] B. Osofsky (1966), A generalization of quasi-Frobenius rings, J. Algebra 4, 373-387.
[17] T. S.Tolskaya (1970), When are all cyclic modules essentially embedded in free modules?, Mat. Issled. 5, 187-192.